2. 考研
  3. 设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22一y32，A*是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，一1]T满足A*α=α，则二次型f(x1，x2，x3)=______．

设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22一y32，A*是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，一1]T满足A*α=α，则二次型f(x1，x2，x3)=______．

admin2018-09-20  58
问题 设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22一y32，A*是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，一1]T满足A*α=α，则二次型f(x1，x2，x3)=______．
选项
答案2x1x2-2x1x3-2x2x3
解析 由于A的特征值为2，一1，一1，所以|A|=2×(-1)×(-1)=2．
    对A*α=α两端左边乘A，并利用AA*=|A|E得Aα=2α，则α是A的对应于特征值2的特征向量．
    取α2=[0，1，1]T，α3=[-2，1，-1]T，则α，α2，α3两两正交，将它们分别单位化有

令Q=[q1，q2，q3]，即Q为正交矩阵，且

所以二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2-2x1x2-2x2x3．
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考研数学三

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