已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x，Ax，A2x线性无关，且满足 A3x=3Ax-2A2x。 (Ⅰ)记P=(x，Ax，A2x)。求三阶矩阵B，使A=PBP-1； (Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。

admin2019-01-23 73

问题已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x，Ax，A²x线性无关，且满足
A³x=3Ax-2A²x。
(Ⅰ)记P=(x，Ax，A²x)。求三阶矩阵B，使A=PBP^-1；
(Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。

选项

答案(Ⅰ)令等式A=PBP^-1两边同时右乘矩阵P，得AP=PB，即 A(x，Ax，A²x)=(Ax，A²x，A³x)=(Ax，A²x，3Ax-2A²x) =(x，Ax，A²x)[*] 所以B=[*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知A～B，那么A+E～B+E，从而｜A+E｜=｜B+E｜=[*]=-4。

解析

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考研数学一

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