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设函数f(x)在区间(0,+∞)内有定义,且对于任意的x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1),又设f’(1)存在且等于a,a≠1. 求f(x)的表达式.
设函数f(x)在区间(0,+∞)内有定义,且对于任意的x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1),又设f’(1)存在且等于a,a≠1. 求f(x)的表达式.
admin
2021-04-07
74
问题
设函数f(x)在区间(0,+∞)内有定义,且对于任意的x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1),又设f’(1)存在且等于a,a≠1.
求f(x)的表达式.
选项
答案
将上式两边积分,得 f(x)=(a-1)lnx+x+C, 由f(1)=0,得C=-1,从而得 f(x)=(a-1)lnx+x-1(x>0。a≠1)。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/nby4777K
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考研数学二
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