2. 考研
  3. 下列三个命题 ①设anxn的收敛域为(－R，R)，则的收敛域为(－R，R)； ②设幂级数anxn在x=－1条件收敛，则它的收敛半径R=1； ③设幂级数 anxn，bnxn的收敛半径分别为R1，R2，则(an+bn)xn的收敛半径 R=min(R1，

下列三个命题 ①设anxn的收敛域为(－R，R)，则的收敛域为(－R，R)； ②设幂级数anxn在x=－1条件收敛，则它的收敛半径R=1； ③设幂级数 anxn，bnxn的收敛半径分别为R1，R2，则(an+bn)xn的收敛半径 R=min(R1，

admin2020-06-10  53
问题 下列三个命题
①设anxn的收敛域为(－R，R)，则的收敛域为(－R，R)；
②设幂级数anxn在x=－1条件收敛，则它的收敛半径R=1；
③设幂级数
anxn，bnxn的收敛半径分别为R1，R2，则(an+bn)xn的收敛半径
    R=min(R1，R2)
    中正确的个数是
选项 A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
答案B
解析 此类选择题必须逐一判断．
关于命题①：对幂级数
anxn．逐项积分保持收敛区间不变，但收敛域可能起变化．如xn的收敛域为(－1，1)，但的收敛域是[－1，1)．
关于命题②：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确．
记该幂级数的收敛半径为R．若R>1，由于，｜x｜anxn绝对收敛
An(－1)n绝对收敛，与已知矛盾．若r<1，由，｜X｜>R，anxn发散an(－1)n发散，也与已知矛盾．因此，R=1．
    关于命题③：当R1≠R2时，R=min(R1，R2)，于是要考察R1=R2的情形．
设有级数，易求得它们的收敛半径均为R1=R2=1．但的收敛半径为R=2．因此命题不正确．
综上所述，应选(B)
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考研数学一

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