2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g’(x)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得[f(a)-f(ξ)]/[g(ξ)-g(b)]=f’(ξ)/g’(ξ)．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g’(x)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得[f(a)-f(ξ)]/[g(ξ)-g(b)]=f’(ξ)/g’(ξ)．

admin2022-10-12  82
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g’(x)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得[f(a)-f(ξ)]/[g(ξ)-g(b)]=f’(ξ)/g’(ξ)．
选项
答案令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(6)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)-f’(x)g(x)-f(x)g’(x)，所以[f(a)-f(ξ)]/[g(ξ)-g(b)]=f’(ξ)/g’(ξ)．
解析
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考研数学三

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