2. 考研
  3. 设A＝E＝ααT，其中α为n维非零列向量．证明： (1)A2＝A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

设A＝E＝ααT，其中α为n维非零列向量．证明： (1)A2＝A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

admin2021-11-09  79
问题 设A＝E＝ααT，其中α为n维非零列向量．证明：
    (1)A2＝A的充分必要条件是α为单位向量；
    (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
选项
答案(1)令αTα＝k，则A2＝(E－ααT)(E－ααT)＝E－2ααT＋kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2＝A的充分必要条件是k＝1，而αTα＝｜α｜2，所以A2＝A的充要条件是α为单位向量． (2)当α是单位向量时，由A2＝A得r(A)＋r(E－A)＝n，因为E－A＝ααT≠O，所以r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩阵．
解析
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考研数学二

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