2. 考研
  3. 设线性方程组α1x1+α2x2+α3x3+α4x4=β，其中αi(i=1，2，3，4)和β均是四维列向量，有通解k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T。 (Ⅰ)问β能否由α2，α3，α4线性表出，若能表出，则写出表出式；若不能表出，请证明

设线性方程组α1x1+α2x2+α3x3+α4x4=β，其中αi(i=1，2，3，4)和β均是四维列向量，有通解k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T。 (Ⅰ)问β能否由α2，α3，α4线性表出，若能表出，则写出表出式；若不能表出，请证明

admin2020-06-11  59
问题 设线性方程组α1x1+α2x2+α3x3+α4x4=β，其中αi(i=1，2，3，4)和β均是四维列向量，有通解k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T。
    (Ⅰ)问β能否由α2，α3，α4线性表出，若能表出，则写出表出式；若不能表出，请证明之；
    (Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由；
    (Ⅲ)求线性方程组(α1+β，α1，α2，α3，α4)x=β的通解。
选项
答案(Ⅰ)由已知条件可知β可由αi(i=1，2，3，4)线性表出，且 β=(4—2k)α1+(3k一1)α2+kα3+3α4， 其中k为任意常数。 当k=2时，则可得到β=5α2+2α3+3α4。因此β能由α2，α3，α4线性表出。 (Ⅱ)方程组的通解为k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T，则系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为3，且一2α1+3α2+α3=0，得 α3=2α1一3α2。 (*) 假设α4能由α1，α2，α3线性表出，则存在不全为零的数k1，k2，k3使 α4=k1α1+k2α1+k3α3， 将(*)式代入可得 α4=k1α1+k2α1+k3α3=(k1+2k3)α1+(k2—3k3)α2， 因此可知r(α1，α2，α3，α4)≤2，该结果与r(α1，α2，α3，α4)=3矛盾，因此α4不能由α1，α2，α3线性表出。 (Ⅲ)因为方程组(α1，α2，α3，α4)x=β有通解k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T，因此可知 r(α1+β，α1，α2，α3，α4)=r(α1+β，α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=3， 故方程组(α1+β，α1，α2，α3，α4)x=β有解，由 0.(α1+β)+4α1一α2+0.α3+3α4=β，得η1=(0，4，一1，0，3)T； 0.(α1+β)一2α1+3α2+α3+0.α4=0，得ξ=(0，一2，3，1，0)T； (α1+β)一α1+0.α2+0.α3+0.α4=β，得η2=(1，一1，0，0，0)T， 得所求方程组的通解为 k1ξ+k2(η1一η2)+η1=k1[*]。 其中ξ与η1一η2不成比例，是线性无关的。
解析
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考研数学二

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