已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

admin2018-03-26 51

问题已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数．
(I)当f(x)=x时，求微分方程的通解．
(Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

选项

答案(I)通解y(x)=e^-∫1dx(∫xe^∫1dxdx+C)=e^-x(∫xe^xdx+C) =e^-x[(x一1)e^x+C] =(x一1)+Ce^-x． (Ⅱ)证明：设f(x+T)=f(x)，即T是f(x)的周期．通解y(x)=e^-∫1dx[∫f(x)e^∫1dxdx+C]=e^-x[∫f(x)e^xdx+C]=e^-x∫f(x)e^xdx+Ce^-x．设y(x)=e^-x∫_T^xf(x)e^xdx+Ce^-x，则有 y(x+T)=e^-(x+T)∫_T^x+Tf(t)e^tdt+Ce^-(x+T) [*]e^-(x+T)∫₀^xf(u+T)e^u+Td(u+T)+(Ce^-T).e^-x =e^-(x+T)∫₀^xf(u)e^u.e^Tdu+(Ce^-T).e^-x =e^-x∫₀^xf(u)e^udu+(Ce^-T).e^-x，即y(x+T)依旧是方程的通解，结论得证．

解析

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考研数学一

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已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

考研数学一

设A，B是任意两个事件，则=__________．

设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的密度函数为fY(y)=__________.

已知α1,α2……αs线性无关，β可由α1,α2……αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．

设Am×n，r(A)=m，Bn×(n－m)，r(B)=n一m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

已知线性方程组a，b为何值时，方程组有解；

设A是s×n矩阵，B是A的前m行构成的m×n矩阵，已知A的行向量组的秩为r．证明：r(B)≥r+m—s．

设平面曲线L：，y≥0，其所围成的区域分别记为D和D1，则有()。

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值．(Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；(Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值范围．

设3阶矩阵A与B相似，λ1=1，λ2=-2是矩阵A的两个特征值，且矩阵B的行列式｜B｜=1，则行列式｜A*+E｜=________．

（2021年高密）归因是个体根据有关信息、线索对自己和他人的行为原因进行推测与判断的过程。影响归因的因素主要有（）

下列阿米巴原虫的寄生部位是：A．结肠B．脑膜C．口腔D．小肠E．肺脏

对“S”曲线描述正确的是()。

会计职业道德准则所指的专业技术能力一般应包括(　　)。

某投资者将10000元投资于票面利率10％、5年期的债券，则此项投资的终值按复利计算是()

村集体经济统计中农业资产的预计净残值率一般按照成本的()确定。

在社会发展过程中，生产关系一定要适应生产力的发展。当生产力发展了，超越了生产关系，就需要对生产关系作出适当调整以适应生产力。所以()。

行政合理性原则是指行政决定的内容要客观、适度，具有合理性，即合理地行使行政自由裁量权。根据上述定义，下列行为符合这一原则的是(　　)。

Asstatedinourpolicy,clubmemberscanrenewtheirmemberships______theyhaveoutstandingpayments.

Threeyearsago,researchersannouncedthediscoveryofhumangenesthatwerecapableofturningordinarycellsintomalignanto

已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

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设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值．(Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；(Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值范围．

设3阶矩阵A与B相似，λ1=1，λ2=-2是矩阵A的两个特征值，且矩阵B的行列式｜B｜=1，则行列式｜A*+E｜=________．

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