计算曲面积分4zxdydz－2zydzdx＋(1－z2)dxdy，其中S为z＝ey(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧。

admin2015-11-16 60

问题计算曲面积分

4zxdydz－2zydzdx＋(1－z²)dxdy，其中S为z＝e^y(0≤y≤a)绕z轴旋转成的曲面下侧。

选项

答案解设D为平面z＝e^a介于此旋转曲面内的部分。令 P＝4zx， Q＝－2zy， R＝1－z²，则[*] 根据奥氏公式得 [*] 因D关于y轴对称，4zx是D上关于x的奇函数，故[*]。又D关于x轴对称，2zy是D上关y的奇函数，故[*]。 [*]

解析 [解题思路] 曲面S不封闭，先添加一平面区域D(见右图)使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内使用高斯公式求之，而在添加的平面域上的积分可利用对称性等方法简化求之。

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