2. 考研
  3. 已知ξ＝(1，－2，3)T是矩阵的一个特征向量。 (Ⅰ)试确定参数a，b及ξ所对应的特征值λ； (Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。

已知ξ＝(1，－2，3)T是矩阵的一个特征向量。 (Ⅰ)试确定参数a，b及ξ所对应的特征值λ； (Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。

admin2019-01-25  71
问题 已知ξ＝(1，－2，3)T是矩阵的一个特征向量。
    (Ⅰ)试确定参数a，b及ξ所对应的特征值λ；
    (Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。
选项
答案(Ⅰ)A的特征向量ξ对应的特征值为λ，则Aξ＝λξ，即 [*] (Ⅱ)根据a＝－1，b＝4可得矩阵[*] [*] 特征值分别为λ1＝6，λ2＝2(二重)。 当λ＝6时，[*]，解得特征向量为ξ1＝(1，－2，3)T； 当λ＝2时，[*]，解得特征向量为 ξ2＝(1，－1，0)T，ξ3＝(1，0，1)T。 [*]
解析 本题考查特征值与特征向量及矩阵的相似对角化。根据ξ＝(1，－2，3)T是A的特征向量，即Aξ＝λξ，建立关于a，b及ξ的方程组，解出它们的值。矩阵可相似对角化的条件是A有3个不同的特征值或对应的n重特征值有n个线性无关的特征向量，据此判断A是否可对角化，并通过求特征向量得出使A相似于对角矩阵的可逆矩阵P。
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考研数学三

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