设非齐次方程组 (I) 有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个．

admin2017-07-26 104

问题设非齐次方程组

(I)
有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b₁，b₂，…，b_n不全为零)．证明：方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个．

选项

答案因r(A)=r＜n，可设ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r是(I)的对应齐次线性方程组的基础解系，η^*是(I)的一个特解．由η^*不能被ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r线性表示，且ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r线性无关，可知η^*，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r线性无关，而方程组(I)的任意一解η都可以表示成η^*和ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r的线性组合． η=η^*=η^*+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n—rξ_n—r．所以(I)的解向量的秩≤n一r+1．又向量组η^*，η^*+ξ₁，η^*+ξ₂，…，η^*+ξ_n—r是(I)的n一r+1个特解，考察 k₀η^*+k₁(η^*+ξ₁)+k₂(η^*+ξ₂)+…+k_n—r(η^*+ξ_n—r)=0，整理得 (k₀+k₁+k₂+…+k_n—r)η^*+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n—rξ_n—r=0．因η^*，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r线性无关，上式成立当且仅当 [*] 即 k₁=k₂=…=k_n—r=k₀=0．从而得证η^*，η^*+ξ₁，η^*+ξ₂，…，η^*+ξ_n—r线性无关， r(η^*，η^*+ξ₁，η^*+ξ₂，…，η^*+ξ_n—r)n一r+1，即方程组(I)至少有n一r+1个线性无关的解向量，即(I)的解向量组的秩≥n一r+1．综上所述，方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个．

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/D5H4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设非齐次方程组 (I) 有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个．

考研数学三

设A，B为同阶可逆矩阵，则()．

设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数X服从参数为λ的泊松分布，且每一顾客购买A类商品的概率为p．假定各顾客是否购买A类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买A类商品的人数Y的概率分布及Y的期望EY．

若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内

已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1；4x1+3x2+5x3-x4=-1；ax1+x2+3x3+bx4=-1；有3个线性无关的解.求a，b的值及方程组的通解．

设某产品的成本函数为c=aq2+bq+c，需求函数为a=1/e(d-p)，其中C为成本，q为需求量(即产量)，p为单价，a，b，c，d，e都是正的常数，且d＞b，求：(Ⅰ)利润最大时的产量及最大利润；(Ⅱ)需求对价格的弹性；(Ⅲ)需求对价格弹性的绝对

求下列不定积分：

μ(x，y)＝x2－xy＋y2，L为抛物线y＝x2自原点至点A(1，1)的有向弧段n为L的切向量顺时针旋转π／2角所得的法向量为函数μ沿法向量n的方向导数，计算

设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值

计算二重积分，其中D是由y=一a+(a＞0)及y=-x所围成的区域．

设f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x))dx.

丘溶认为_______是国家政治制度和法律的核心()

tariff

计算机可以直接执行的程序是以()语言所写成的程序。

Burkitt淋巴瘤的特点

下列选项中，属于急性普通型肝炎具有相对特征性的肝细胞病变是

根据病因及发病机制贫血可分为

地震区木结构柱的竖向连接．正确的是：

台风是中心风力达()级以上的风。

苏联在哪次会议上通过了社会主义工业化方针，并在此之后开始了大规模的工业化建设?()。

假定一个表单里有一个文本框Text1和一个命令按钮组CommandGroup1。命令按钮组是一个容器对象，其中包含Command1和Command2两个命令按钮。如果要在Command1命令按钮的某个方法中访问文本框的Value属性值，正确的表达式是(