设矩阵A= (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P一1AP为对角矩阵．

admin2017-04-24 89

问题设矩阵A=

(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P^一1AP为对角矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由于矩阵A与B相似，所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得 a+3=b+2，2a一3=6 解得 a=4，b=5． (Ⅱ)由于矩阵A与B相似，所以它们有相同的特征多项式： |λE 一A|=|λE 一B|= (λ一1)2(λ一5) 由此得A的特征值为 λ₁=λ₂=1，λ₃=5 对于λ₁=λ₂=1，解方程组(E一 A)x=0，有 [*] 得对应于λ₁=λ₂=1的线性无关特征向量ξ₁=[*] 对于λ₃=5，解方程组(5E一A)x=0，由 [*] 得对应于λ₁=5的特征向量ξ₃=[*] 令矩阵P=[ξ₁ ξ₂ ξ₃]=[*] 则矩阵P可作为所求的可逆矩阵，使得P^一1AP=[*]为对角矩阵．

解析

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考研数学二

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