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设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是
设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是
admin
2017-04-24
84
问题
设向量组I：α
1
，α
2
，…，α
r
可由向量组Ⅱ：β
1
，β
2
，…，β
s
线性表示．下列命题正确的是
选项
A、若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．
B、若向量组Ⅰ线性无关，则r＞s．
C、若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．
D、若向量组Ⅱ线性无关，则r＞s．
答案
A
解析
(Ⅰ)4个3维向量β
1
，β
2
，β
3
，α
i
线性相关(i=1，2，3)，若β
1
，β
2
，β
4
线性无关，则α
i
可由β
1
，β
2
，β
3
线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是β
1
，β
2
，β
3
线性相关，从而0=|β
1
，β
2
，β
3
|=
于是a=5．此时，α
1
不能由向量组β
1
，β
2
，β
3
线性表示．
考虑下列矩阵的初等行变换
[β
1
，β
2
，β
3
|α
1
，α
2
，α
3
]=
可见当a≠5时，α
1
，α
2
，α
3
可由β
1
，β
2
，β
3
线性表示；当a=5时，α
1
，α
2
不能由β
1
，β
2
，β
3
线性表示，故a=5．
(Ⅱ)令矩阵A=[α
1
，α
2
，α
3
|β
1
，β
2
，β
3
]，对A施行初等行变换
从而，β
1
=2α
1
+4α
2
一α
3
，β
2
=α
1
+2α
2
，β
3
=5α
1
+10α
2
一2α
3
．
注释 本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算．
注意，3个线性无关的3维向量必可作为3维向量空间的基，从而可线性表示任一3维向量，由此立即可知题给的向量组β
1
，β
2
，β
3
线性相关，于是由矩阵[β
1
，β
2
，β
3
]的秩小于3或行列式|β
1
，β
2
，β
3
|=0，便可求出a来．
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考研数学二
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