(1996年)设f(χ)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)＝f(b)＝0，f′(a).f′(b)＞0．试证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)＝0及f〞(η)＝0．

admin2016-05-30 85

问题 (1996年)设f(χ)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)＝f(b)＝0，f′(a).f′(b)＞0．试证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)＝0及f〞(η)＝0．

选项

答案先用反证法证明：[*]ξ∈(a，b)，使f(ξ)＝0．否则由f(χ)的连续性可知，在区间(a，b)内恒有f(χ)＞0或f(χ)＜0．不妨设f(χ)＞0，则 [*] 从而f′(a)f′(b)≤0．这与已知条件矛盾，则在(a，b)内至少存在ξ，使f(ξ)＝0．再由f(a)＝f(ξ)＝f(b)及罗尔定理知．存在η₁∈(a，ξ)和η₂∈(ξ，b)使 f′(η₁)＝f′(η₂)＝0 又在[η₁，η₂]上对f′(χ)应用罗尔定理知，存在η∈(η₁，η₂)，使f〞(η)＝0

解析

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考研数学二

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(1996年)设f(χ)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)＝f(b)＝0，f′(a).f′(b)＞0．试证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)＝0及f〞(η)＝0．

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