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设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使得f(ξ1)=f(ξ2)=0.
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使得f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2022-09-05
120
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(x)dx=0,∫
0
π
f(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则易知F(x)可导且F(0)=F(π)=0,又 0=∫
0
π
f(x)cosxdx=|
0
π
cosxdF(x)=F(x)cosx∫
0
π
+∫
0
π
F(x)sinxdx=∫
0
π
F(x)sinxdx 所以存在ξ∈(0,π),使得F(ξ)sinξ=0.因为若不然,F(x)sinx在(0,π)内恒正或恒负,均与∫
0
π
F(x)sinxdx=0矛盾,又当ξ∈(0,π)时,sinξ>0,所以F(ξ)=0.故F(x)在[0,π]上至少有三个不同的根,x=0,x=ξ,x=π 对F(x)在[0,ξ],[ξ,π],上分别应用罗尔定理,则存在点ξ∈(0,ξ),使F’(ξ)=f(ξ
1
)=0; 存在ξ
2
∈(ξ,π),使F’(ξ
2
)=f(ξ
2
)=0.
解析
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0
考研数学三
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