设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2018-04-08 68

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)由题意知Q^TAQ=Λ，其中 [*] 则A=QΛQ^T。设Q的其他任一列向量为(x₁，x₂，x₃)^T，因为Q为正交矩阵，所以 [*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 α₁=(－1，0，1)^T，α₂=(0，1，0)^T，把α₁单位化 [*] (Ⅱ)证明：因为(A+E)^T=A^T+E=A+E，所以A+B为实对称矩阵，又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，且都大于0，因此A+B为正定矩阵。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学一

已知3维向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1一α2，α2一kα3，α3一α1也线性无关的充要条件是k__________.

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则

设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则

用非退化(可逆)的线性变换化二次型f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3为标准形，并求此非退化的线性变换。

设∑为平面y+z=5被柱面x2+y2=25所截得的部分，则曲面积分

设有正项级数是它的部分和(1)证明收敛；(2)判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明．

设函数f(u)可微，且f(0)=0，f’(0)≠0，记F(t)=(x2+y2+z2)dv，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}．若当t→0+时，Ft(t)与tk是同阶无穷小，则k等于

设f(x)连续，且求φ’(x)．

—Haveyougotyourtestresult?—Notyet.Thepapers______.

在口服缓控释制剂中，一些水溶性药物可通过制备难溶性盐或难溶盐衍生物以达到降低溶解度的目的较适合皮下和肌肉注射的缓控释制剂

经纪作为一种特殊的经济活动，具有区别于其他经济活动的自身特性，主要表现不包括（）

以下汉字输入码中，(　　)无重码。

下列关于关税完税价格的说法，正确的有()。

南京国民政府的最大成功，得益于张学良的东北易帜。这主要是指东北易帜______。

ThesuccessofAugustusowedmuchtothecharacterofRomantheorizingaboutthestate.TheRomansdidnotproduceambitiousblu

ThelongandcomplexstoryisbrilliantlytoldbyarelayteamofscholarsassembledbytheAntiqueCollectors’Clubforthisha

PeopleintheUnitedStateshonortheirparentswithtwospecialdays:Mother’sDay,onthesecondSundayinMay,andFather’sD

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用非退化(可逆)的线性变换化二次型f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3为标准形，并求此非退化的线性变换。

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设f(x)连续，且求φ’(x)．

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以下汉字输入码中，(　　)无重码。