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用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换。
用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换。
admin
2015-11-16
66
问题
用非退化(可逆)的线性变换化二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)＝－4x
1
x
2
＋2x
1
x
3
＋2x
2
x
3
为标准形，并求此非退化的线性变换。
选项
答案
解：令[*] ① 则 原式＝－4y
1
2
＋4y
2
2
＋4y
1
y
3
＝－4y
1
2
＋4y
1
y
3
－y
3
2
＋y
3
2
＋4y
2
2
＝－(2y
1
－y
3
)
2
＋4y
2
2
＋y
3
2
。 再令[*] ② 则 原式＝－z
1
2
＋4z
2
2
＋
3
2
。 因此原二次型的标准形为－z
1
2
＋4z
2
2
＋
3
2
。 所作的非退化的线性变换是用新变量表示旧变量的线性变换，即 X＝PZ， 其中X＝[x
1
，x
2
，x
3
]
T
， Z＝[z
1
，z
2
，z
3
]
T
。 为求此变换，由方程组②得到 y
3
＝z
3
， y
2
＝z
2
， y
1
＝(z
1
＋z
3
)／2。 将此代入方程组①得到所求的非退化的线性变换： [*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/bFw4777K
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考研数学一
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