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设n维向量αs可由α1，α2，…，αs-1唯一线性表示，其表出式为 αs=α1+2α2+3α3+…+(s一1)αs-1 (1)证明齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αi-1xi-1+αi+1xi+1+…+αsxs=0 (
设n维向量αs可由α1，α2，…，αs-1唯一线性表示，其表出式为 αs=α1+2α2+3α3+…+(s一1)αs-1 (1)证明齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αi-1xi-1+αi+1xi+1+…+αsxs=0 (
admin
2018-09-20
90
问题
设n维向量α
s
可由α
1
，α
2
，…，α
s-1
唯一线性表示，其表出式为
α
s
=α
1
+2α
2
+3α
3
+…+(s一1)α
s-1
(1)证明齐次线性方程组
α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
i-1
x
i-1
+α
i+1
x
i+1
+…+α
s
x
s
=0 (*)
只有零解(i=1，2，…，s)；
(2)求线性非齐次方程组
α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
s
x
s
=α
1
+2α
2
+…+sα
s
(**)
的通解．
选项
答案
(1)齐次线性方程组α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
i-1
x
i-1
+α
i+1
x
i+1
+…+α
s
x
s
=0只 有零解[*]r(α
1
，α
2
，…，α
i-1
,α
i+1
，…，α
s
)=s—1(未知量个数)[*]α
1
，α
2
，…，α
i-1
，α
i+1
，…，α
s
线性无关． 设有数k
1
，k
2
，…，k
i-1
，k
i+1
，…，k
s
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i-1
α
i-1
+k
i+1
α
i+1
+…+k
s
α
s
=0． 将题设条件α
s
=α
1
+2α
2
+…+(s一1)α
s-1
代入上式，得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i-1
α
i-1
+k
i+1
α
i+1
+…+k
s-1
α
s-1
+k
s
[α
1
+2α
2
+…+(s—1)α
s-1
]=0， 即 (k
1
+k
s
)α
1
+(k
2
+2k
s
)α
2
+…+[k
i-1
+(i一1)k
s
]α
i-1
+ik
s
α
i
+ [k
i+1
+(i+1)k
s
]α
i+1
+…+[k
s-1
+(s-1)k
s
]α
s-1
=0． 由条件知,α
1
，α
2
，…，α
s-1
线性无关，故有 [*] 因i≠0，由ik
s
=0，得k
s
=0，从而有k
1
=k
2
=…=k
i-1
=k
i+1
=…=k
s-1
=0． 所以α
1
，α
2
，…，α
i-1
，α
i+1
，…，α
s
线性无关，于是方程组(*)只有零解． (2)因α
1
，α
2
，…，α
s-1
线性无关，α
s
=α
1
+2α
2
+3α
3
+…+(s—1)α
s-1
，有 r(α
1
，α
2
，…，α
s-1
)=s一1=r(α
1
，α
2
，…，α
s
，(α
1
+2α
2
+…+sα
s
))． 故方程组(**)有通解kξ+η，其中 ξ=[1，2，…，(s-1)，一1]
T
，η=[1，2，…，s]
T
，k是任意常数．
解析
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考研数学三
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