2. 考研
  3. 求下列旋转体的体积V： (Ⅰ)由曲线χ2＋y2≤2χ与)y≥χ确定的平面图形绕直线χ＝2旋转而成的旋转体； (Ⅱ)由曲线y＝3－｜χ2－1｜与戈轴围成封闭图形绕直线y＝3旋转而成的旋转体．

求下列旋转体的体积V： (Ⅰ)由曲线χ2＋y2≤2χ与)y≥χ确定的平面图形绕直线χ＝2旋转而成的旋转体； (Ⅱ)由曲线y＝3－｜χ2－1｜与戈轴围成封闭图形绕直线y＝3旋转而成的旋转体．

admin2016-10-21  110
问题 求下列旋转体的体积V：
    (Ⅰ)由曲线χ2＋y2≤2χ与)y≥χ确定的平面图形绕直线χ＝2旋转而成的旋转体；
    (Ⅱ)由曲线y＝3－｜χ2－1｜与戈轴围成封闭图形绕直线y＝3旋转而成的旋转体．
选项
答案(Ⅰ)对该平面图形，我们可以作垂直分割也可作水平分割． 作水平分割．该平面图形如图3．28．上半圆方程写成χ＝1－[*](0≤y≤1)．任取y轴上[0，1]区间内的小区间[y，y＋d)，]，相应的微元绕χ＝2旋转而成的立体体积为 dV＝{π[2－(1－[*])]2－π(2－y)2}dy， 于是 [*] (Ⅱ)曲线y＝3－｜χ2－1｜与χ轴的交点是(－2，0)，(2，0)．曲线y＝f(χ)＝3－｜χ2－｜与χ轴围成的平面图形，如图3．29所示． [*] 显然作垂直分割方便．任取[χ，χ＋dχ][*][－2，2]，相应的小竖条绕y＝3旋转而成的立体体积为 dV＝dV＝π[32－(3－f(χ))2]dχ＝π(9－｜χ2－1｜2)dχ， 于是V＝π∫-22[9－(χ2－1)2]dχ＝2π∫02[9－(χ4－2χ2＋1)]dχ ＝[*]
解析
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考研数学二

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