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  3. 设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)＝r(AB)．证明：方程组BX＝0与ABX＝0是同解方程组．

设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)＝r(AB)．证明：方程组BX＝0与ABX＝0是同解方程组．

admin2021-11-09  56
问题 设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)＝r(AB)．证明：方程组BX＝0与ABX＝0是同解方程组．
选项
答案首先，方程组BX＝0的解一定是方程组ABX＝0的解． 令r(B)＝r且ξ1，ξ2，…，ξn-1是方程组BX＝0的基础解系，现设方程组ABX＝0有一个解η0不是方程组BX＝0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r…，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k0，使得k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＋k0ξ0＝0， 若k0＝0，则k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关， 所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r，线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0＝0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，且为方程组ABX＝0的解，从而n－r(AB)≥n－r＋1，r(AB)≤r－1，这与r(B)＝r(AB)矛盾，故方程组BX＝0与ABX＝0同解．
解析
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考研数学二

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