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设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. 当F(x)的最小值为f(a)-a2-1时,求函数f(x).
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. 当F(x)的最小值为f(a)-a2-1时,求函数f(x).
admin
2016-05-17
31
问题
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt.
当F(x)的最小值为f(a)-a
2
-1时,求函数f(x).
选项
答案
由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)-a
2
-1两边求导得 2af(a)=fˊ(a)-2a, 于是fˊ(x)-2xf(x)=2x, 解得f(x)=[*] 在2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)-a
2
-1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=2e
x
2
-1.
解析
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考研数学二
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