设函数f(x)在区间(－R，R)内可展开成x的幂级数，证明：当f(x)是奇函数时，幂级数中不含x的偶次幂项；当f(x)是偶函数时，幂级数中不含x的奇次幂项．

admin2014-04-10 123

问题设函数f(x)在区间(－R，R)内可展开成x的幂级数，证明：当f(x)是奇函数时，幂级数中不含x的偶次幂项；当f(x)是偶函数时，幂级数中不含x的奇次幂项．

选项

答案f(x)可在(－R，R)内展成x的幂级数，因此有 [*] (1)当f(x)为奇函数时，由于奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数，则有f(x)的奇数阶导为偶函数，偶数阶导为奇函数当n＝2k时，f⁽ⁿ⁾(x)为奇函数，即f⁽ⁿ⁾(0)＝0，展开式中不含x的偶次项； (2)当f(x)为偶函数时，同理有f(x)的奇数阶导为奇函数，偶数阶导为偶函数当n＝2k－1时，f⁽ⁿ⁾(x)为奇函数，即f⁽ⁿ⁾(0)＝0，展开式中不含x的奇次项．

解析

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考研数学三

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设函数f(x)在区间(－R，R)内可展开成x的幂级数，证明：当f(x)是奇函数时，幂级数中不含x的偶次幂项；当f(x)是偶函数时，幂级数中不含x的奇次幂项．

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