首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1. 求f(x),并要求证明:你得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1. 求f(x),并要求证明:你得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
admin
2018-03-30
110
问题
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且
∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
—e
x
+1.
求f(x),并要求证明:你得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
选项
答案
将 ∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
—e
x
+1 两边对x求导,得 g[f(x)]f’(x)+f(x)=xe
x
. 由于g[f(x)]=x,上式成为 xf’(x)+f(x)=xe
x
. 当x>0时,上式可以写为 f’(x)+[*]f(x)=e
x
, 由一阶线性微分方程的通解公式,得通解 [*] 由f(x)在x=0处可导且f(0)=0,得 [*] 当且仅当C=1时上式成立,所以 [*] 下面证明上面得到的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.由所得到的表达式f(x)在区间[0,+∞)上连续,所以只要证明f(x)在x∈(0,+∞)上单调即可.由 [*] 取其分子,记为 φ(x)=x
2
e
x
—xe
x
+e
x
一1, 有φ(0)=0,φ’(x)=(x
2
+x)e
x
>0,当x∈(0,+∞)时,φ(x)>φ(0)=0,f’(x)>0.所以,f(x)在区间[0,+∞)上存在反函数.证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/kwX4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设有两条抛物线记它们交点的横坐标的绝对值为an(1)求两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn;(2)求级数的和
设(r,θ)为极坐标,u=u(r,θ)具有二阶连续偏导数,并满足
设函数y=y(x)满足条件.
确定常数a、b、c的值,使
在xOy坐标平面上,连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0).求L的方程;
设连续型随机变量X的分布函数F(x)严格递增,Y~U(0,1),则Z=F1(Y)的分布函数().
求微分方程÷y’-2y=xe+sin2x的通解.
设α1,α2,α3,α4,β为四维列向量组,A=(α1,α2,α3,α4),已知方程组Ax=β的通解是(-1,1,0,2)T+k(1,-1,2,0)T.β能否由α1,α2,α3线性表示?
函数y=|π2-x2|sin2x的不可导点个数为()
某人衣袋中有两枚硬币,一枚是均匀的,另一枚两面部是正面.(Ⅰ)如果他随机取一枚抛出,结果出现正面,则该枚硬币是均匀的概率为多少;(Ⅱ)如果他将这枚硬币又抛一次,又出现正面,则该枚硬币是均匀的概率为多少.
随机试题
女性,28岁。3个月来发现腹胀、腹痛。心肺(一)。腹膨隆,腹壁柔韧感,有压痛及反跳痛,有移动性浊音,右下腹有包块。腹水为渗出液。X线检查:右下肠粘连。首选治疗是
心肌梗死阳虚水泛证的治法为
案情:徐某系某市国有黄河商贸公司的经理,顾某系该公司的副经理。2005年,黄河商贸公司进行产权制度改革,将国有公司改制为管理层控股的股份有限公司。其中,徐某、顾某及其他15名干部职工分别占40%、30%、30%股份。在改制过程中,国有资产管理部门委托某资产
某甲被判处死刑,缓期2年执行,于2007年3月6日考验期满。考验期间,某甲没有故意犯罪,并遵守监规。其服刑所在的监狱于当日向中级人民法院上报了将死缓减为无期徒刑的材料。两天后即3月8日,某甲因琐事与同监舍的某乙斗殴,并将某乙的一只眼睛打瞎。对某甲的处理是:
公路路面基层使用细集料有XG1、XG2、XG3三种规格,粒径分别为()。
我国土地登记的基本原则有()。
背景资料:某会议中心新建会议楼工程,为保证室内外装饰效果,经研究决定,装修工程采取单独招标,独立开发,采用公开招标的形式确定施工队伍,建设单位与施工单位按照《建设工程施工合同(示范文本)》签订了装饰装修施工合同。招标阶段,在招标文件中明
通过探测重力的微小变化,科学家发现一些地方的地下水越来越少。尽管卫星数据显示地下水出现了________,相关部门对这些信号仍然相当______,他们对科学家最近的发现提出了__________。依次填入画横线部分最恰当的一项是()。
以下不属于宪法调整的社会关系是()
Thehotelisnotverymodern,butitdoeshavethe______ofbeingclosetothecitycentre.
最新回复
(
0
)