2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，+∞)上可导，f(0)=0，g(x)是f(x)的反函数，且 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1． 求f(x)，并要求证明：你得出来的f(x)在区间[0，+∞)上的确存在反函数．

设f(x)在区间[0，+∞)上可导，f(0)=0，g(x)是f(x)的反函数，且 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1． 求f(x)，并要求证明：你得出来的f(x)在区间[0，+∞)上的确存在反函数．

admin2018-03-30  109
问题 设f(x)在区间[0，+∞)上可导，f(0)=0，g(x)是f(x)的反函数，且
    ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1．
求f(x)，并要求证明：你得出来的f(x)在区间[0，+∞)上的确存在反函数．
选项
答案将 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1 两边对x求导，得 g[f(x)]f’(x)+f(x)=xex． 由于g[f(x)]=x，上式成为 xf’(x)+f(x)=xex． 当x＞0时，上式可以写为 f’(x)+[*]f(x)=ex， 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 [*] 由f(x)在x=0处可导且f(0)=0，得 [*] 当且仅当C=1时上式成立，所以 [*] 下面证明上面得到的f(x)在区间[0，+∞)上的确存在反函数．由所得到的表达式f(x)在区间[0，+∞)上连续，所以只要证明f(x)在x∈(0，+∞)上单调即可．由 [*] 取其分子，记为 φ(x)=x2ex—xex+ex一1， 有φ(0)=0，φ’(x)=(x2+x)ex＞0，当x∈(0，+∞)时，φ(x)＞φ(0)=0，f’(x)＞0．所以，f(x)在区间[0，+∞)上存在反函数．证毕．
解析
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考研数学三

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