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设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即AB≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即AB≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
admin
2021-11-09
75
问题
设向量组α
1
，α
2
，…，α
t
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即AB≠0．试证明：向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
选项
答案
设有一组数k，k
1
，k
2
，…，k
t
使得 [*] 把(1)式两边左乘以A，有 [*] 因为Aβ≠0，故 [*] 因而，由(1)式，得 [*] 即[*]．再由于α
1
，α
2
，…，α
t
是方程组Ax=0的一个基础解系，所以该向量组α
1
，α
2
，…，α
t
线性无关，从而有k
1
=k
2
=…=k
t
=0；再由(2)可知k=0．因此，向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
解析
本题考查向量组线性相关的概念和如何利用线性方程组证明向量组的线性相关性．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/kvy4777K
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考研数学二
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