已知α1，α2，α3线性无关．α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关．则实数t等于_______．

admin2018-11-20 68

问题已知α₁，α₂，α₃线性无关．α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁线性相关．则实数t等于_______．

选项

答案t=一1／2．

解析证明α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁线性相关就是要证明其秩小于3．
记矩阵A=(α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁)．用矩阵分解，有

由于α₁，α₂，α₃线性无关，(α₁，α₂，α₃)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质，
r(α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁)=r(A)=r(C)．
于是α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁线性相关

r(c)＜3

|C|=0．
求出|C|=1+8t³，于是得8t³=一1，t=一1／2．

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