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  3. [2006年] 设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，则f’"(2)=__________．

[2006年] 设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，则f’"(2)=__________．

admin2021-01-25  70
问题 [2006年]  设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，则f’"(2)=__________．
选项
答案2e3
解析 解一  由题设有f’(x)=ef(x)，两边对32求导，由复合函数求导法则得到
                 f"(x)=[ef(x)]’=ef(x)f’(x)=ef(x)·ef(x)=e2f(x)．
在上式两边再对x求导，利用复合函数求导法则得到
           f’"(x)=[e2f(x)]’=e2f(x)[2f(x)]’=2e2f(x)f’(x)=2e3f(x)．
      由题设有f(2)=1，得到    f’"(2)=2e3f(x)｜x=2=2e3f(2)=2e3．
    解二  由f’(x)=ef(x)及f(2)=1知，f’(2)=ef(2)=e，
                   f"(x)=[f’(x)]’=[ef(x)]’=ef(x)f’(x)=[f’(x)]2，
从而      f"(2)=[f’(x)]2=e2，
又      f’"(x)=[f"(x)]’={[f’(x)]2}’=2f’(x)f"(x)，
则            f’"(2)=2×e×e2=2e3．
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考研数学三

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