2. 考研
  3. (1999年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证： (I)存在，使f(η)=η； (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。

(1999年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证： (I)存在，使f(η)=η； (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。

admin2019-05-11  103
问题 (1999年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证：
(I)存在，使f(η)=η；
(Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。
选项
答案(I)构造函数F(x)=f(x)一x，则F(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且[*]，F(1)=f(1)一1=0—1=一1＜0， 所以由介值定理得，存在一点[*]，使得F(η)=f(η)一η=0，即存在一点[*]使得f(η)=η，原命题得证。 (Ⅱ)令 f’(x)一λ[f(x)一x]一1=0， 解微分方程得f(x)=x+Ceλx，即e-λx(f(x)一x)=C，令 G(x)=e-λx[f(x)一x]。 因为 G(0)=e0(f(0)一0)=0，G(η)=e-λη(f(η)一η)=0， 所以，在(0，η)上由罗尔定理知，必然存在点ξ∈(0，η)，使得G’(ξ)=0，即 G’(ξ)=一λe-λξ(f(ξ)一ξ)+e-λξ(f’(ξ)一1) =e-λξ(一λf(ξ)+λξ+f’(ξ)一1)=0， 即 f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。
解析
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考研数学三

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