求下列定积分： (Ⅰ) I=dx； (Ⅱ) J=sin2xarctanexdx．

admin2018-04-15 77

问题求下列定积分：
(Ⅰ) I=

dx；
(Ⅱ) J=

sin²xarctane^xdx．

选项

答案(Ⅰ) [*] (Ⅱ) [*]

解析积分I=

f(x)dx在变量替换t=b－x下积分区间保持不变，即
I=

f(b－x)dx，
于是 2I=

[f(x)+f(b－x)]dx．若右端易求，则就求出I值．题(Ⅰ)就是如此．
积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外，有时对某些其他函数也会带来方便．在对称区间的情形：I=

f(x)dx，若作变量替换x=－t，则积分区间保持不变，即I=

f(－t)dt．
于是 2I=

[f(x)+f(－x)]dx．
若右端积分易算，则就求出了I的值．题(Ⅱ)就是这样．

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