(1)比较∫01｜ln t｜[ln(1＋t)]ndt与∫01t2｜ln t｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由； (2)记un＝∫01｜ln t｜[ln(1＋t)ndt(n＝1，2，…)，求极限．

admin2014-01-26 77

问题 (1)比较∫₀¹｜ln t｜[ln(1＋t)]ⁿdt与∫₀¹t²｜ln t｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由；
(2)记u_n＝∫₀¹｜ln t｜[ln(1＋t)ⁿdt(n＝1，2，…)，求极限

．

选项

答案(1)当0≤t≤1时，0≤ln(1＋t)≤t，故｜ln t｜[ln(1＋t)]ⁿ≤｜ln t｜t_n，由积分性质得∫₀¹｜ln t｜[ln(1＋t)]ⁿdt≤∫₀¹tⁿ｜ln t｜dt(n＝1，2，…)． (2)∫₀¹tⁿ｜ln t｜dt＝－∫₀¹tⁿ.ln tdt＝[982*] 于是有[*]，由夹逼定理得[*]。

解析 [分析]x,－t(1)比较被积函数的大小，对(2)用分部积分法计算积分∫₀¹t_n｜ln t｜dt，再用夹逼定理求极限．
[评注] 若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．

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考研数学二

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