设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A-1及(A＋2E)-1．

admin2019-05-14 59

问题设方阵A满足A²－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A^-1及(A＋2E)^-1．

选项

答案由A²－A－2E＝0，得A(A－E)＝2E．两端同时取行列式｜A(A－E)｜＝2，即｜A｜｜A－E｜＝2，故｜A｜≠0，所以A可逆．而由A²－A－2E＝0可得 A＋2E＝A²．两端同时取行列式｜A＋2E｜＝｜A²｜＝｜A²｜≠0，所以A＋2E也可逆．由A(A－B)＝2E，得A^-1＝[*](A－E)．又A²－A－2E＝0，通过添加项并整理可得(A＋2E)(A－3E)＝－4E，则有 (A＋2E)^-1(A＋2E)(A－3E)＝－4(A＋2E)^-1，因此(A＋2E)^-1＝－[*](A－3E)．

解析

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考研数学一

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