n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2019-07-12 48

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

选项 A、二次型x^TAx的负惯性指数为零。
B、存在可逆矩阵P使P^-1AP=E。
C、存在n阶矩阵C使A=C^-1C。
D、A的伴随矩阵A^*与E合同。

答案D

解析 A选项是必要不充分条件。这是因为r(A)=p+g≤n，当g=0时，有r(A)=p≤n。此时有可能pTAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(c)=x₁²+5x₃²。
B选项是充分不必要条件。这是因为P^-1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的。
C选项中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=C^TC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论。例如
C=

,A=C^TC=

,
显然矩阵不正定。
关于选项D，由于
A正定

A^-1正定

A^*正定

A^*与E合同，
所以D是充分必要条件，故选D。

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考研数学三

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已知函数f(x)=ax3+x2+2在x=0和x=一1处取得极值．则曲线y=f(x)的拐点是_____。

设y=y(x)是由方程y2+xy+x2+x=0所确定的满足y(一1)=1的隐函数，则=

将抛物线y=x2一x与x轴及直线x=c(c＞1)所围成平面图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积Vx等于弦op(p为抛物线与直线x=c的交点)绕x轴旋转所得锥体的体积V锥，则c的值为______．

设f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f’’(0)=2且f’’(x)在x=0的邻域内连续，则=______．

设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0，f’’(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求

用变量代换x=sint将方程化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．

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