设A、B为同阶正定矩阵，且AB＝BA，证明：AB为正定矩阵．

admin2016-06-30 69

问题设A、B为同阶正定矩阵，且AB＝BA，证明：AB为正定矩阵．

选项

答案因A、B正定，有A^T＝A，B^T＝B，故(AB)^T＝B^TA^T＝BA－AB，即AB也是对称矩阵．因A正定，存在正定阵S，使A＝S²，于是S^-1(AB)S＝S^-1SSBS＝SBS＝S^TBS，由于B正定，故与B合同的矩阵S^TBS正定，故S^TBS的特征值全都大于零，而S^-1(AB)S＝S^TBS，说明AB与S^TBS相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故AB的特征值(即S^TBS的特征值)全都大于零，因而对称阵AB正定．

解析

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考研数学二

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