设p(x)在区间[0，+∞)上连续且为负值．y=y(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内满足y’+p(x)y＞0且y(0)≥0，求证：y(x)在[0，+∞)单调增加．

admin2018-06-14 43

问题设p(x)在区间[0，+∞)上连续且为负值．y=y(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内满足y’+p(x)y＞0且y(0)≥0，求证：y(x)在[0，+∞)单调增加．

选项

答案因y’+p(x)y＞0[*][y’+p(x)y]＞0 [*] 设F(x)=y(x)[*]，则F’(x)＞0当x＞0时成立，故F(x)当x≥0时单调增加，即[*]x＞0 有 F(x)＞F(0)=y(0)≥0[*]x＞0)．设x₂＞x₁≥0，由F(x)单调增加→F(x₂)＞F(x₁) [*] 由于y(x₁)＞0，[*]＞y(x₁)，代入即得 y(x₂)＞y(x₁) ([*]x₂＞x₁≥0)．这表明y(x)当x≥0时单调增加．

解析

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考研数学三

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设f’(x0)=f"(x0)=0，f(x0)＞0，则下列正确的是()．
设y=f（x）为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈（0，1），使得在区间[0，c]上以f（c）为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积；
设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=________．
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求曲线y=x2一2x与直线y=0、x=1、x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．
设数列{xn}由递推公式(n=1，2，…)确定，其中a＞0为常数，x0是任意正数，试证存在，并求此极限．

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