2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)， 证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)；

已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)， 证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)；

admin2019-08-05  16
问题 已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)，
证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)；
选项
答案令G(x)=f(x)－g(x)=ln(1+x)－kx，x∈[0，+∞)，则有G’(x)=[*]．当k≤0时，G’(x)＞0，所以G(x)在[0，+∞)上单调递增，G(x)＞G(0)=0，故对任意正实数x0均满足题意． 当0＜k＜1时，令G’(x)=0，得x=[*]－1＞0． 取x0=[*]－1，对任意x∈(0，x0)，G’(x)＞0，所以G(x)在[0，x0)上单调递增，G(x)＞G(0)=0，即f(x)＞g(x)．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)．
解析
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