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已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
admin
2019-01-23
64
问题
已知三元二次型f=x
T
Ax的秩为2，且
求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
选项
答案
二次型x
T
Ax的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，(1，2，1)
T
是与3对应的特征向量；一1也是A的特征值，(1，一1，1)
T
是与一1对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，则有 (x
1
，x
2
，x
3
)[*]=0，(x
1
，x
2
，x
3
)[*]=0， 由方程组[*]解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)
T
。 那么[*],所以 A=[*] 因此x
T
Ax=[*](x
1
2
+10x
2
2
+x
3
2
+16x
1
x
2
+2x
1
x
3
+16x
2
x
3
)， 令 [*] 则经正交变换x=Qy，有x
T
Ax=y
T
Ay=3y
1
2
一y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/imP4777K
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考研数学三
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