f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．

admin2018-08-22 80

问题 f(x)在(一∞，+∞)上连续，

且f(x)的最小值f(x₀)＜x₀，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．

选项

答案令F(x)=f(x)一x₀，则F(x)在(一∞，+∞)上连续，且 [*] 由[*]知存在a＜x₀，使得F(a)＞0；存在b＞x₀，使得F(b)＞0，于是由零点定理知存在x₁∈(a，x₀)，使得F(x₁)=0；存在x₂∈(x₀，b)，使得F(x₂)=0，即有x₁＜x₀＜x₂，使得f(x₁)=x₀=f(x₂)，从而得f[f(x₁)]=f(x₀)=f[f(x₂)]，即f[f(x)]至少在两点处取得最小值．

解析

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考研数学二

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设有n元二次型f(x1,x2,……xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1,x2,……xn)为正定二次型．
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