2. 考研
  3. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

admin2019-08-01  71
问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
选项
答案必要性。 设三条直线l1，l2，l3交于一点，则线性方程组 [*] 有唯一解，所以系数矩阵[*]=0。 又[*]=6(a+b+c)(a2+b2+c2一ab一ac—bc)=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]， 而根据题设(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，故a+b+c=0。 充分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明可知，[*]＜3。 由于 [*]=2(ac—b2)=一2[a(a+b)+b2] =一2[(a＋[*]b)2＋[*]b2]≠0， 故r(A)=2。于是，r(A)=[*]=2。 因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1，l2，l3交于一点。
解析 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2。
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考研数学二

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