2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=∫01f(x)dx=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"(ξ)=0。

设f(x)在区间[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=∫01f(x)dx=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"(ξ)=0。

admin2018-05-25  58
问题 设f(x)在区间[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=∫01f(x)dx=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"(ξ)=0。
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，则由牛顿一莱布尼茨公式及积分中值定理，有 ∫01f(x)dx=F(1)一F(0)=F’(c)(1一0)=f(c)，其中c∈(0，1)，再由积分中值定理得[*]，于是有f(0)=f(c)=f(x0)。 从而f(x)满足罗尔定理的条件，故存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，x0)，使得f’(ξ)=f’(ξ2)=0，再次利用罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，2)，使得f"(ξ)=0。
解析
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考研数学一

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