设f(0)=g(0)，f′(0)=g′(0)，f″(x)＜g″(x)(当x＞0时)，证明当x＞0时，f(x)＜g(x)．

admin2016-11-03 61

问题设f(0)=g(0)，f′(0)=g′(0)，f″(x)＜g″(x)(当x＞0时)，证明当x＞0时，f(x)＜g(x)．

选项

答案令F(x)=g(x)一f(x)，则 F(0)=0， F′(0)=0， F″(x)＞0．由拉格朗日中值定理得到 F(x)=F(x)一F(0)=xF′(ξ₁)，0＜ξ₁＜x， F′(ξ₁)=F′(ξ₁)一F′(0)=ξ₁F″(ξ₂)，0＜ξ₂＜ξ₁，则 F(x)=xF′(ξ₁)=xξ₁F″(ξ₂)．因F″(x)＞0，x＞0，ξ₁＞0，故F(x)＞0，即f(x)＜g(x)．

解析作辅助函数F(x)=g(x)一f(x)，则F(0)=0，F′(0)=0．利用此条件对F(x)使用拉格朗日中值定理证之．

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考研数学一

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