设PQ为抛物线y＝的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．

admin2019-05-08 51

问题设PQ为抛物线y＝

的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．

选项

答案令P(a，[*])，因为y＝[*]关于y轴对称，不妨设a＞0． y’(a)＝[*]，过P点的法线方程为y－[*](x－a)，设Q(b，[*])，因为Q在法线上，所以[*](b－a)，解得b＝－a－[*]． PQ的长度的平方为L(a)＝(b－a)²＋[*](b²－a²)]²＝4a²(1＋[*])³，由L’(a)＝8a(1＋[*]＝0得a＝[*]为唯一驻点，从而为最小点，故PQ的最小距离为[*]．

解析

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考研数学三

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设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1．确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值；

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