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  3. 求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。

求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。

admin2019-01-26  69
问题 求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。
选项
答案由于所给的区域D是闭区域，故先考虑函数f(x，y)在区域D内部{(x，y)|x2+y2＜1)的极值，这属于无条件极值，解线性方程组 [*] 所以 x=0，y=0。 在(0，0)点，有 fxx"=2＞0，fxy"=1，fyy"=2， 所以 fxx"fyy"－(fxy")2＞0， 所以(0，0)点是函数的极小值点，极小值为f(0，0)=0。 然后考虑函数f(x，y)在区域D边界{(x，y)|x2+y2=1)的极值，这属于条件极值，构造如下的拉格朗日函数 L(x，y，λ)=x2+xy+y2－λ(x2+y2－1)， 对上式求偏导得如下方程组 [*] 将上述方程组化简得 4λ2－8λ+3=0． 解得 [*] 当[*]时，x=－y，[*]当[*]时，x=y，[*] 因为连续函数在闭区间上必可取得最大值和最小值，所以f(x，y)在边界上的最大值为[*]最小值为[*] 综上所述，f(x，y)在闭区域D上的最大值为[*]最小值为0。
解析
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考研数学二

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