设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3． (I)证明：向量组α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

admin2017-12-21 94

问题设A是三阶矩阵，α₁，α₂，α₃为三维列向量且α₁≠0，若Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃．
(I)证明：向量组α₁，α₂，α₃线性无关．
(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

选项

答案(I)由Aα₁=α₁得(A－E)α₁=0，由Aα₂=α₁+α₂得(A－E)α₂=α₁，由Aα₃=α₂+α₃得(A－E)α₃=α₂．令 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， 1) 两边左乘以(A－E)得 k₂α₁+k₃α₂=0， 2) 两边再左乘(A－E)得惫k₃α₁=0，由α₁≠0得k₃=0，代入2)得k₂α₁=0，则k₂=0，再代入1)得k₁α₁=0，从而k₁=0，于是α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)令P=(α₁，α₂，α₃)，由(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(α₁，α₁+α₂，α₂α₃)得[*] 由｜λE－A｜=｜λE－B｜=(λ－1)³=0得A的特征值为λ₁=λ₂=λ₃=1， [*]因为r(E－B)=2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A～B，故A不可相似对角化．

解析

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考研数学三

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