设A为反对称矩阵，则 (1)若k是A的特征值，－k一定也是A的特征值． (2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0． (3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

admin2019-02-23 57

问题设A为反对称矩阵，则
(1)若k是A的特征值，－k一定也是A的特征值．
(2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则η^Tη=0．
(3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

选项

答案(1)若k是A的特征值，则k也是A^T的特征值．而A^T=－A，于是－k是A的特征值． (2)设η的特征值为A，则Aη=λη． λη^Tη=η^TAη=(A^Tη)^Tη=(－Aη)^Tη=－λη^Tη． λ不为0，则η^Tη=0． (3)A为实反对称矩阵，则由上例知道，－A²=A^TA的特征值都是非负实数，从而A²的特征值都是非正实数．设A是A的特征值，则λ²是A²的特征值，因此λ²≤0，于是A为0，或为纯虚数．

解析

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考研数学二

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设A为反对称矩阵，则 (1)若k是A的特征值，－k一定也是A的特征值． (2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0． (3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

考研数学二

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