已知y1=x，y2=ex，y3=e2x是微分方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个特解，则该微分方程的通解为( )．

admin2020-10-21 39

问题已知y₁=x，y₂=e^x，y₃=e^2x是微分方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个特解，则该微分方程的通解为( )．

选项 A、y=C₁e^x+C₂e^2x+x．
B、y=C₁x+C₂e^x+e^2x．
C、y=C₁(e^x—x)+C₂(e^2x一x)．
D、y=C₁(x—e^x)+C₂(x—e^2x)+e^x．

答案D

解析因为y₁=x，y=e^x，y₃=e^2x是微分方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关解，所以y₁=x—e^x，y=x一e^2x是微分方程y"+p(x)y’+q(x)y=0的两个线性无关解，由齐次与非齐次线性微分方程解的结构知，所求微分方程的通解为
y=C₁(x—e^x)+C₂(x一e^2x)+e^x．
应选D．

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