设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，其矩阵A满足A3=A，且行列式｜A｜＞0，矩阵A的迹trA＜0，则此二次型的规范形为

admin2016-01-23 77

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx，其矩阵A满足A³=A，且行列式｜A｜＞0，矩阵A的迹trA＜0，则此二次型的规范形为

选项 A、
B、
C、
D、

答案C

解析本题考查求抽象二次型的规范形．由题设条件特点只要求得A的特征值即得．
解：由条件A³=A可知A的特征值必满足λ³=λ，故λ=0，±1．又由｜A｜=λ₁λ₂λ₃＞0，trA=λ₁+λ₂+λ₃＜0知，矩阵A的特征值为1，-1，-1，故二次型x^TAx的规范形为f(x₁，x₂，x₃)=

注：由n阶矩阵A满足f(A)=O可得A的特征值λ必满足方程f(λ)=0．但由f(λ)=0不能推得f(A)=O，且方程f(λ)=0的根不一定都是矩阵A的特征值．

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