设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB＝C，如果秩r(A)＝n，证明秩r(B)＝r(C)．

admin2018-04-18 60

问题设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB＝C，如果秩r(A)＝n，证明秩r(B)＝r(C)．

选项

答案对齐次方程组(Ⅰ)ABχ＝0，(Ⅱ)Bχ＝0，如α是(Ⅱ)的解，有Bα＝0，那么ABα＝0，于是α是(Ⅰ)的解．如α是(Ⅰ)的解，有ABα＝0，因为A是m×n矩阵，秩r(A)＝n，所以Aχ＝0只有零解，从而Bα＝0．于是α是(Ⅱ)的解．因此方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．那么s－r(AB)＝s－r(B)，即r(AB)＝r(B)．所以r(B)＝r(C)．

解析

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