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  3. 设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax3x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中 用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换；

设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax3x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中 用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换；

admin2014-02-06  51
问题 设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax3x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中
用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换；
选项
答案由[*]知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量．记[*]则Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2．由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α1,α2是λ=0的线性无关的特征向量．根据∑λi∑aii,有0+0+λα3,α2=1+4+1，故知矩阵λ有特征值λ=6．因此，矩阵A的特征值是0，0，6．设λ=6的特征向量为αα3,α2=(xα1,α2，xα2,α2，xα3,α2)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有[*]解出α3=(1，2，一1)T．对α1,α2正交化，令β1=(1，0，1)T，则β2=α2-[*]=(2，一1，0)T一[*](1，(1，1)T=(1，一1，一1)T．再对β1，β2，α3单位化，得[*]那么经坐标变换x=Qy，即[*]二次型化为标准形xTAx=yTAy=6y3．
解析
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考研数学一

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