2. 考研
  3. 设函数y＝f(x)存在二阶导数，且f＇(x)≠0． (Ⅰ)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示及； (Ⅱ)求满足微分方程 (*) 的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为1／2，在此曲线上任意点处的

设函数y＝f(x)存在二阶导数，且f＇(x)≠0． (Ⅰ)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示及； (Ⅱ)求满足微分方程 (*) 的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为1／2，在此曲线上任意点处的

admin2019-01-24  65
问题 设函数y＝f(x)存在二阶导数，且f＇(x)≠0．
(Ⅰ)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示及；
(Ⅱ)求满足微分方程
       (*)
的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为1／2，在此曲线上任意点处的f＇(x)≠0．
选项
答案(Ⅰ)由反函数的导数公式，有 [*] (Ⅱ)将(Ⅰ)中求得的[*]代入所给微分方程(*)式中，得 [*] 将(**)式中x看成函数，y看成自变量，(**)式成为x对y的二阶常系数非齐次线性微分方程．按通常办法解之，得[*]． 再由条件：x＝1时y＝0，[*]代入上式得 [*] 解毕．
解析
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考研数学一

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