设A是n阶矩阵，λ＝2，4，…，2n是A的n个特征值，则行列式｜A－3E｜＝__________．

admin2020-06-05 49

问题设A是n阶矩阵，λ＝2，4，…，2n是A的n个特征值，则行列式｜A－3E｜＝__________．

选项

答案﹣(2n－3)!

解析方法一因为λ＝2，4，…，2n是A的n个特征值，所以λ＝﹣1，1，…，2n－3是A－3E的全部特征值．由特征值的性质｜A－3E｜的值等于它的全部特征值之积，所以
｜A－3E｜＝(﹣1)×1×…×(2n－3)＝﹣3×5×…×(2n－3)＝﹣(2n－3)!
方法二取A＝diag(2，4，…，2n)，那么A满足题设条件，且
A－3E＝diag(﹣1，3，5，…，(2n－3))
于是｜A－3E｜＝(﹣1)×3×5×…×(2n－3)＝﹣(2n－3)!

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