[2008年] 已知曲线C：求曲线C上与xOy平面的距离最远点和最近点．

admin2019-07-23 39

问题 [2008年] 已知曲线C：

求曲线C上与xOy平面的距离最远点和最近点．

选项

答案设曲线C上的任意一点为(x，y，z)，则(x，y，z)到xOy平面的距离为｜z｜，等价于函数z²在条件x²+y²一2z²=0与x+y+3z一5=0下的最大值点和最小值点．令F(x，y，z，λ，μ)=z²+λ(x²+y²一2z²)+μ(x+y+3z一5)，解方程组 [*] 由方程①、②得x=y，代入方程④得z=±x，再由方程⑤分别得 P₁(x₁，y₁，z₁)=(1，1，1)， P₂(x₂，y₂，z₂)=(一5，一5，5)．由于实际问题存在最大值与最小值，又只有两个驻点，比较易知曲线C上点(一5，一5，5)，(1，1，1)分别是距xOy平面的最远点和最近点．

解析

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